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快速响应复杂新产品,“结构性存款”衍生品定价通用模型

作者： 中国货币市场 | 2020-02-22

内容提要

作为利率市场化进程重要先行者的结构性存款挂钩产品较复杂，呈现路径依赖、多观察窗口等特征，并要求紧跟市场热点快速研发部署金融模型。文章提出“蒙特卡罗模拟”数值方法能适用于衍生品定价的最新发展要求，并阐述了其定价逻辑和优化思路。文章进一步以案例解释了其实务应用。

国内（“结构性存款”）衍生品没有“美式”、“百慕大”行权特征（提前行权），可以选择“蒙特卡罗模拟”数值方法作为通用模型，这个衍生品定价的通用框架，具有完整的理论体系和充分的业界应用。框架分成了市场模型、产品结构、数值方法三个松耦合的层次，可以对复杂的新产品模型研发做出快速响应，可以充分利用并行计算、可编程芯片等技术,在几分钟内完成一个新产品定价模型的定制，在几个小时内部署投产一个新的产品，而传统“解析解方法”需要几周或者几个月才能落地。几乎所有金融衍生品模型提供商都将其作为新一代的模型定价产品。

伴随保值需求、投资需求多元化，业务落地要求衍生品定价模型能够对复杂产品快速响应，解析解公式推导的方法已经不能满足很多产品的定价要求，或者只能提供一个完全有效市场假设下的近似解析解，例如：障碍期权、亚式期权、可赎回债券、损益累计期权、区间累计期权、汇率联动期权等。复杂产品定价、头寸管理能力、定价引擎性能等已经成为制约业务发展的技术门槛，同时伴随电子交易、场内交易的发展，不同场景下模型性能要求千差万别，很多模型实施场景要具体分析。衍生品定价成为跨学科综合性专业，对计算机技术、数学建模、金融业务理解都有较高要求。

一、衍生品定价模型简介

目前绝大部分衍生品定价方法都源于布莱克-休斯模型（Black-Scholes）有效市场偏微分方程。微分方程求解方法包括精准解析解、近似解析解、数值解方法。其中精准解析解、近似解析解是一个具体的公式；数值解是通过统计方法求解，包括二叉树法、偏微分方程（PDE）、傅里叶变换（FFT）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation，MCS）等，近几年高性能计算机技术使数值解优势凸现。

（一）蒙特卡罗模拟法简介

不同定价模型各有优缺点。其中蒙特卡罗模拟（MCS）是目前较为主流的数值解方法，可以认为MCS是衍生品定价的通用框架。蒙特卡罗模拟（MCS）方法就是指基于现货、利率、波动率假设模型，以选定的市场数据，模拟未来现货价格行走路径，在这些路径上模拟衍生品可能收益，最后贴现求均值。蒙特卡罗模拟的数理基础即大数定理：随着样本数量增加，独立随机重复抽样的均值收敛于原变量的期望值。

（二）MCS方法优势与不足分析

MCS方法具有如下优势：1.适用范围广，能够解决绝大部分复杂衍生品定价，包括多标的、路径依赖、相关性等特征，也能适用于百慕大、美式的行权特征。2.逻辑框架清晰，前置工作（模型选择、参数校准）对于不同产品是通用的，可以对新产品模型需求做出快速响应。3.适合并行计算（Parallel Computing），可以充分利用云计算技术。4.多随机变量优势明显。

另一方面，MCS方法也存在劣势：1.计算性能低，大量路径模拟计算量大，对于批量合约（场内）、大量存续交易、程序化高频交易、电子报价等场景，需要根据具体应用做性能优化。2.存在收敛误差，无法满足高流动性产品定价的精度。

整体而言,衍生品定价只能根据具体市场特点、衍生品结构、应用场景选择最优方案。

二、蒙特卡洛模拟框架

MCS用于衍生品定价分为前向（Forward）和后向（Backward）模拟。前向MCS较为简单，用于解决欧式行权特征的期权；后向最小二乘法蒙特卡洛模拟（LMC）比较复杂，用于解决美式行权特征的期权。

图1 前向MCS基本逻辑框架

对于美式行权特征，MCS本身并不适合，因为其中包含了“猜测未来”的元素，LSM（Least-Square Monte Carlo simulation）提出的后向模拟方法可以解决这个问题。

LSM基本思路是：使用时间截面（cross-sectional）数据，基于最小二乘法得到条件下（Time=t; Spot=i）“继续持有最大收益”，通过比较“继续持有最大收益”和“提前行权收益”，在路径任何一点都可以做出基于未来合理猜测的行权选择。

图2 后向LMC基本逻辑框架

所以LSM的核心是找出最优行权时刻和行权收益。首选采集“继续持有最大收益”样本，从t=T时刻开始前推，到期（T）时刻为实值的路径将会被执行；时刻的“继续持有最大收益”是范围内最大的执行收益对时刻的贴现值。

LSM虽然称为后向蒙特卡洛模拟，其实只有在构建未来每个时刻最小二乘法模型时是后向的，模拟过程仍然是前向。在每个时刻，对于价内期权是否执行，取决于“立刻行权价值”和最小二乘法预测“继续持有最大收益”的比较，“持有价值”大于“执行收益”则不执行，持有价值小于执行价格则执行。如果ti时刻执行，则应该将ti时刻现金流变换为执行收益，并计算ti-t0的贴现值。

MCS另外一个优势在于多随机因子模型的实施复杂度和时间复杂度优于其他数值解，例如Hull-Whiter双因子模型。多因子MCS的核心是如何生成具备一定相关性的随机序列。

结构性存款挂钩衍生品多为“路径依赖”、“欧式行权”，市场模型包括单因子和双因子模型，同时要求模型对新产品快速响应，所以蒙特卡洛模拟框架非常适用。

三、框架性能优化

收敛误差这一缺陷使得需要“方差缩减”技术来提升MCS性能。“方差缩减”是指在不增加模拟次数，保持无偏估计的前提下，减少模拟结果统计值方差。具体方法包括对偶变量（Antithetic Variates）、控制变量（Control Variates）、分层抽样（Stratified Sampling）、重要性抽样（Importance Sampling）、公共随机数法、矩匹配法等。

1.对偶序列，即使用对称的两组随机序列拼组，性能提升效果和产品结构有关，例如对于深度价外期权，对偶序列效果不明显，而对远期合约定价只需要一对随机序列。

2.控制变量，即使用高相关性产品（存在解析解的简单产品）做基础变量，使用简单产品数值解与解析解之差，对复杂产品定价做收敛误差调整。

例如将“普通期权”的解析解、数值解之差，作为“障碍期权”数值解收敛误差调整的基础。具体方法是使用同样一组随机变量生成模拟路径，分别求出普通期权、障碍期权的数值解，并通过普通期权数值解和解析解的差，按照一定的倍数对美式障碍期权数值解进行调整。

证明调整后的估计是一个无偏估计：

：校正后的数值解；：美式障碍期权数值解；β：校正系数；：美式普通期权解析解；：美式障碍期权数值解；：两种衍生品的协方差。

可以证明，方差缩减的倍数：

所以找到相关性强的相关衍生品是控制变量方法的关键，如果相关系数为1，那么蒙卡带来的收敛误差可以被完全校准。

除了算法优化，目前常用的可编程芯片对于该类问题的解决也非常合适，因为每个模拟节点的逻辑都是固化的，类似神经网络算法的神经元节点。计算机软硬件技术的发展，使衍生品模型数值解法有了更广阔的前景。

四、蒙特卡洛模拟的应用案例

案例一：前向蒙卡用于FX Touch定价

外汇、贵金属、商品、指数的触碰期权常用于作为结构性存款的底层结构，触碰期权是典型的“路径依赖”产品。

市场模型选择外汇、贵金属BS有效市场模型：

其中，为本币利息，为外币利息、仓储成本（一般使用imply rate）

图3 XAUUSD模拟路径及上下Barrier

注：XAUUSD, Spot=1500, Vol=15%,模拟价格路径。

案例二：双因子蒙卡用于Libor Range Accrual定价

区间累计期权（Range Accrual）是另外一种常用挂钩品种。区间累计期权是指在存续期间多次观察，按照满足条件的比例确定最后的支付（Payoff），其中期权面额（Notional）就是最大的支付额（Max Payoff）。

其中，MP即max payoff，最大支付面额；需判断是否满足区间条件；N为观察窗口数量

判断条件包括区间内（Range Inside）、区间外（Range Outside）、界限以上（One Sided Above）、界限以下（One Sided Below）。按照观察窗口的性质可以分为欧式、美式、部分观察窗口，其中最常用的是逐日Libor定盘价观察的区间内累计期权。

市场模型可以选用Hull White双因子模型（two factor Hull-White interest-rate model）作为Libor的市场模型，模型基本假设认为利率满足对远期利率的均值回归，同时回归过程存在随机性。在使用MCS时需要同时生成满足相关系数为的两个随机序列。

其中，为时刻的远期利率；为向远期利率回归的速度；为漂移项；为远期利率干扰项；为短期利率波动率；为远期利率波动率；为两个随机因子的相关系数。

图4 、的一次模拟路径（=0.75）

案例三：后向蒙卡用于American Vanilla定价

目前国内结构性存款很少允许提前赎回（Callable）、卖出（Putable），未使用美式（American）、百慕大（Bermuda）行权窗口，所以一般不会用到复杂的后向（最小二乘法）蒙特卡洛模拟（LSM）。本例通过American Vanilla对LSM加以说明。

LSM主要依据加州大学洛杉矶分校(UCLA)两位学者的一篇论文。一般MCS采用正向求解，无法计算每个时刻“继续持有期权的期望收益”，也就无法比较“立即执行收益”与“继续持有收益”，进而无法决定是否提前执行，所以t时刻之后的期望收益是后向问题的核心，最优化执行问题是难点，特别是多因子的模型（Multiple factors）。

LSM的思路是：基于样本价格模拟路径，对于时刻t所有样本路径（例如路径i）在时刻t的即期价格作为自变量（x=），将对应的样本路径上的未来最大收益的PV作为目标变量（y=）。假设模拟路径数为N，就有N个样本用于训练最小二乘法求回归系数。

已知任何一个模拟路径任何一个时点的价格，都可以通过代入回归等式，求出“继续持有最大收益”的预测贴现值，通过比较提前行权的收益贴现值，就可以做出是否提前行权的判断。

选用二次多项式作为t时刻最小二乘法回归等式：

M为样本（路径）数量；为i路径的即期价格；PV为“最大持有收益”样本；S为t时刻M条路径的“即期”样本；为最小二乘最优解，即多项式系数。

例如，在模拟到第50天时，50到90天（到期日）的最高收益可以通过这个线性回归多项等式求出，以此可做出是否提前行权的判断。

图5 最小二乘法下路径上最大收益

注：x轴已模拟天数，y预测最大收益, CNYPIPS/10000。

可以看出，由于是预测值，有些结果出现略小于0的情况，所以根据不同的衍生品对最小二乘法做优化是有必要的。

在的情况下，大部分美式期权不会被提前行权，行权集中在到期日前几天，如果，看涨期权买方有动力尽早持有高息货币，行权时间点也会相应提前；越早行权的样本收益越高，晚行权的样本收益较低。以上规律和美式期权的解析解定价理论是一致的。

显然由于增加了回归计算，LSM的性能较低。此外，最小二乘法底层的多项式应该怎样选择与产品结构明显相关，例如美式普通期权（American vanilla）和美式敲出期权（American KO），显然前者是一个单向趋势函数，更容易通过多项式拟合。如果可敲出期权敲出价格（Barrier）深度价外（Deep out of the money），模拟路径大部分远离敲出价格，最小二乘法会倾向于拟合大多数样本位置。关键价格附近判断准确度降低，可能导致“预判是否提前行权”存在隐患。

例如，前述论文中给出美式看跌期权最小二乘法的一个例子：

很明显当随机路径的模拟价格出现非常小的取值时，曲线拟合出的看跌期权“继续持有收益”预测值反而更小。所以二项式拟合只对密集出现的有效样本区间（接近现货价格）有效，对于深度价内外的行权、触碰期权，需要做进一步优化，对样本分段后分别使用最小二乘法做回归分析。

作者：王长松，中国银行全球市场部

原文《“结构性存款”衍生品定价通用模型》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2020.02总第220期。