不同隐含波动率估计模型在人民币外汇期权市场中的实证比对分析

内容提要

文章对三种外汇期权市场隐含波动率估计模型（三次样条插值方法、SABR模型和Vanna Volga模型）开展人民币外汇期权市场实证分析，结果表明，在外汇期权流动性相对充分的市场条件下，三种模型均能有效估计波动率；但在流动性欠佳的情况下，三次样条插值方法和Vanna Volga模型存在一定的局限性，而SABR模型则显示了相对的稳定性。

一、引言

隐含波动率是指实际期权价格所隐含的波动率，它是将期权实际价格以及除波动率以外的其他参数代入BS期权定价公式反推出的波动率。期权的实际价格是由众多期权交易者竞争而形成，因此，隐含波动率代表了市场参与者对于市场未来的看法和预期，从而被视为最接近当时的真实波动率。按照BS期权定价假设，在标的物相同、到期日相同时，每一个执行价格的期权都会对应同一个隐含波动率，但在实际市场情况下，存在“波动率倾斜与微笑”现象，描述了在标的物相同、到期日相同时，执行价格不同的期权按不同的隐含波动率进行交易；如果我们把横轴取为执行价，而纵轴取为隐含波动率，则可以发现隐含波动率关于执行价格的函数不是一条水平的直线，而是一条中间低两边高的向上半月形曲线，形状像“微笑”。

因此，在人民币外汇期权市场中，隐含波动率计算的准确性直接关系到外汇期权定价准确性，是外汇期权定价中的关键一环；业界对外汇期权市场的隐含波动率估计模型主要有三次样条插值、SABR模型以及Vanna Volga模型。

二、三种模型方法介绍

（一）三次样条插值方法

已知离散样本数据，其中,则相应的三次样条曲线为分段定义的三次方程,满足:

（1）在每个分段小区间，是一个三次方程,。

（2）满足插值条件，即,。

（3）曲线光滑，即，一阶导数和二阶导数都连续。

这个三次方程可以构造成的形式,该方程构成最终的三次样条函数；其中有四个未知数，由于有n段小区间，共有4n个未知参数，那么需要4n个方程来求解。由于需要满足插值条件，除两个端点外的n-1个内部点，每个点都满足前后两个分段三次方程，则有2(n-1)个方程，再加上两个端点分别满足第一个和最后一个三次方程，则总共有2n个方程；其次，n-1个内部点的一阶导数和二阶导数是连续的，有2(n-1)个方程；至此，已构建4n-2个方程。最后，考虑到波动率微笑形态，通过指定“自然边界”条件，即：，又得到两个方程，上述总共4n个方程,可以支持全部未知参数的求解，从而获得曲线。

（二）SABR模型

SABR模型是一种随机波动率模型，它假设标的远期价格与波动率分别由两个标准布朗运动驱动，其相关系数为，具体形式如下：

其中，代表波动率的波动率。同时，其存在如下解析解，使得隐含波动率成为标的远期价格和合约执行价格的函数：

对几个关键参数进行说明如下：决定了标的价格与平值隐含波动率的关系：当趋近1时，该随机模型接近对数正态模型；趋近0时，该随机模型则接近正态分布模型。根据研究结果与测试情况，外汇市场通常将定为1。代表波动率水平,增大可以使波动率曲线整体上移；相关系数会影响曲线的倾斜度；波动率的波动率影响曲线的凸性,越大，凸性越大。

（三）Vanna Volga模型

Vanna Volga模型是一种在外汇期权市场普遍使用的模型，它能根据外汇期权市场三个标准delta波动率报价（含一个平值隐含波动率报价）推导出特定执行价格的普通外汇期权合约价格；通过假设实际市场中，可构建外汇期权、标的资产和三个已知市场报价的外汇期权的投资组合，消除随机项，形成无风险投资组合，最终推导出如下形式的定价公式：

其中，标记了在BS模型假设下，将平值隐含波动率作为恒定波动率，通过BS公式定价的结果；标记了使用实际市场隐含波动率，再按照BS公式定价的结果。的计算由如下公式给出：

三、建模所需市场数据

（一）市场数据准备

本文采用2022年3月23日市场数据进行模型计量展示；分别从中国货币网获取USDCNY外汇掉期掉期点报价、外汇期权波动率报价以及FR007利率互换收盘曲线。

表1  USDCNY外汇期权隐含波动率

数据来源：中国货币网

（二）市场数据处理

1. 对外汇掉期掉期点报价进行转换，生成USDCNY外汇远期曲线，其中2022年3月28日对应的汇率作为T+2日即期汇率，作为后续美元隐含利率曲线或模型计量中输入的spot汇率：2.由于市场上期权的隐含波动率参照不同期限和外汇期权delta给出，按照BS定价理论，可以根据delta、到期期限以及外汇远期价格，计算出相应的执行价格，形成关于波动率/执行价格的波动率矩阵形式（表2）。

表2  波动率/执行价格矩阵

四、模型计量过程与结果展示

1. 结合表2波动率/执行价格矩阵，以执行价格作为自变量，波动率作为因变量，构建离散样本，按照三次样条插值方法，求得三次样条函数；从而可以获取一条光滑的波动率对执行价格的曲线；

2. 结合表2波动率/执行价格矩阵，采用SABR模型，外汇市场通常设置=1，按照最小均方误差准则对参数、、进行迭代拟合，结果见表3。

表3  SABR模型参数拟合结果

在上述参数全部确定后，可以直接输入执行价格进行波动率的求解。

3. Vanna Volga模型中需要使用三个市场波动率报价，其中要求包含ATM报价，本文中实际使用了10D PUT、ATM以及10D Call三个市场波动率报价，模型计算过程中需要使用的外币收益率曲线可采用已知的外汇远期曲线和人民币FR007利率曲线按照利率平价原则推导得出；最终，输入执行价格，通过模型公式计算出期权价格后，再反推出该期权价格对应的隐含波动率。

图1和图2分别展示了3M和1Y期限下，相较于市场隐含波动率报价，三次样条插值、SABR模型以及Vanna Volga模型对波动率的估计情况。

图1  在市场隐含波动率对应的执行价格区间内,波动率估计（3M）

图2  在市场隐含波动率对应的执行价格区间内,波动率估计（1Y）

从结果可以看出，在市场隐含波动率对应的执行价格区间内，三次样条插值方法、SABR模型以及Vanna Volga模型生成的波动率微笑曲线形态基本一致，整体上三种模型效果未呈现显著性差异。

接下来，当执行价格落入市场隐含波动率对应的执行价格区间外，三种模型对波动率的估计出现了显著背离（图3、4）：三次样条插值方法呈现了不稳定性，甚至在期限1年下，出现了不符合“波动率微笑”的形态；Vanna Volga模型在执行价格超越市场隐含波动率对应的执行价格区间初期时，依然呈现了波动率微笑形态，但到达一定程度时，波动率达到峰值后，逐步出现波动率下行趋势；只有SABR模型依然呈现了较强的稳定性，延续了微笑形态。

图3  在市场隐含波动率对应的执行价格区间外,波动率估计（3M）

图4  在市场隐含波动率对应的执行价格区间外,波动率估计（1Y）

此外，在实际部署过程中，对其它不同到期期限的市场隐含波动率，采用三种方法对波动率进行估计后同样得出了上述结论，在此不做冗余展示。在特定到期期限下，如果将执行价格在市场隐含波动率对应的执行价格区间内的外汇期权看作外汇期权流动性较为充分的市场，那么三次样条插值方法、SABR模型以及Vanna Volga模型均能够有效刻画波动率随执行价格的变化趋势；而执行价格远离市场隐含波动率对应的执行价格区间的外汇期权，由于流动性不够充分且在没有更丰富的市场delta与波动率报价边界的情况下，三次样条插值方法与Vanna Volga模型的表现暂时无法进一步优化。

五、部署建议

隐含波动率的估计在外汇期权交易定价以及存续期估值中起到关键性作用，进而影响到交易策略有效性和风险管理效果。综合前述分析，我们可以得出：

对于流动性较为充分的外汇期权，即执行价格落入市场隐含波动率报价对应的执行价格区间内的外汇期权，选择三次样条插值方法、SABR模型以及Vanna Volga模型进行波动率估计的差异微小。虽然Vanna Volga模型在外汇期权市场很受欢迎，计算简单，易于实施，但其会受限于市场delta波动率报价边界；而三次样条插值方法受限于方法本身的边界条件设置，呈现了不稳定性；对于流动性欠佳的深度虚值或实值外汇期权，即执行价格远离市场隐含波动率报价对应的执行价格区间的外汇期权，谨慎使用三次样条插值方法和Vanna Volga模型，SABR模型表现相对更加稳定；SABR模型需要通过迭代对各个参数进行估计，对于计算能力和速度提出了更高的要求。此外，上述根据执行价格进行自适应选择波动率估计模型的方式，对于金融机构金融产品定价的信息化集成水平也提出了较高的要求。

END

作者：段宝栋、王静涛、赵靓、刘唐，中信建投证券股份有限公司

原文《不同隐含波动率估计模型在人民币外汇期权市场中的实证比对分析》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2022.06总第248期。

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