浅析利率动态模型

内容提要

利率作为资金的价格，对金融资产定价和金融风险管理有着决定性的影响。本文主要围绕利率动态模型的理论及其应用展开讨论，以期为加深利率的理解提供参考。

随着交易规模的扩大，做市商为提供流动性而承担的风险也倍增。为了扩大利润降低风险，学者们在静态模型的基础上加入随机过程工具，对利率期限结构开始了动态模型的研究。利率动态模型假设利率服从一定的随机过程，并通过对模型参数的设定，得到每一时刻的瞬时利率，从而模拟利率变化的路径。利率动态模型分为均衡模型和无套利模型。

利率动态建模主要的思路是类比股票衍生品的建模方式推广而来，而利率比股票复杂的原因在于利率有到期时间。因而谈到利率时，它是一个曲线也就是期限结构而不是一个单点。此外，利率还有一个不同于股票的性质就是利率并不会无限制地升高或者下降，长期来看利率会稳定在一个水平附近，这主要和经济周期有密切的关联。均衡模型是利用历史数据来生成当前的利率期限结构，为所有固定收益证券进行定价，而无套利模型则是利用当前的利率期限结构来生成未来的曲线，并据其给衍生品定价，这样得到的价格是相对于观测到的利率期限结构的价格。两种模型的区别在于目的不同，第一种模型的输入变量是经济变量，输出变量是利率水平；第二种模型的输入变量是利率水平，输出变量是相关金融工具的价格。

一、均衡模型

均衡模型通过将市场中风险偏好、投资机会、风险价格等因素作为参数带入方程，构建利率曲线。由于均衡模型是基于自身假设先确定参数，再构建利率模型，因此，均衡模型的参数具有稳定性，不会随着市场期限结构的变动而变动。均衡模型包括Vasicek模型以及CIR模型等。

（一）Vasicek模型

Vasicek（1977）提出把建模对象放在了瞬时利率也就是到期时间趋近于0的利率。而任何时长的利率都可以表示为这个利率滚利很多次的期望平均。瞬时利率模型试图通过瞬时利率随时间演进的过程来描述整条利率曲线的动态。Vasicek在推导贴现债券价格的均衡模型时使用了物理里描述均值回归性质的随机过程来描述利率的走势，将短期利率抽象为随机游走的模型，研究了利率均值回复现象，认为短期利率会向长期利率收敛。在该模型里，固定收益可以看作是收益率曲线的期权。使用随机波动率期权模型的框架，Vasicek建立起了单因子模型下收益率曲线的无套利结构。

Vasicek模型在假设了的布朗运动后，定义了如下关于利率变化的微分方程：

其中，k表示均值回归调整速度，表示瞬时利率平均值，也可视为长期均衡利率，表示瞬时利率的波动率，均为正常数。利率围绕长期均值上下波动，并受到额外冲击力的影响。随机波动项遵循均值为0、标准差为1的随机正态分布。

Vasicek模型通过在漂移项中引入了瞬时利率平均值，使得模型具有了均值回归的特性，同时，模型也可以反映利率期限结构的多种形态。但由于布朗运动服从正态分布，通过模型得到的利率也服从正态分布，利率取值可能会小于0，与实际情况不符，违反了非负性假设。此外，Vasicek模型假设所有参数都是常数，不随时间变化，但没有考虑到利率水平对波动率高低的影响以及波动率的随机性等效应。

（二）Cox-Ingersoll-Ross模型（CIR模型）

为了克服Vasicek模型利率可能为负的缺陷，Cox、Igersoll和Ross（1985）提出了单因子CIR模型，假设短期利率的风险中性过程服从以下方程：

其中，k，，均为正常数，。CIR模型也是Vasicek模型的延伸，主要目的是解决利率大于等于0的默认条件。CIR在Vasicek的基础上将添加进随机项的系数，从而满足了当利率趋向于0或等于0时系统随机性的消失，瞬时利率的波动率与瞬时利率平方根大小成正比，即利率增加时，利率的波动率也会随之增加。通过这一假设，CIR模型的利率服从非中心卡方分布，当时，保证了利率恒大于0。CIR模型在一个跨期的资产市场均衡模型中对利率的期限结构模型进行了研究，是利率的一种总体均衡模型。CIR模型的优点是它产生于经济中的内在经济变量和总体均衡，它包含了风险等各种因素，但其中相关的参数估算过程较复杂，现实预测有一定的困难。

二、无套利模型

不同于均衡模型，无套利模型是基于预期理论假设建立起来的，假设分析所采取的参考集定价是正确的。无套利模型通过将利率期限结构作为变量输入模型中，得到参数，构建动态模型来描述即期利率的变化过程。确定期限结构的计算过程就是生成金融工具参考集市场价格的估值过程。当市场环境发生改变时，模型可以通过调整参数来适应市场实际数据，更加贴近市场真实情况，对定价利率衍生品十分有效。无套利模型包括Ho-Lee模型，Hull White模型，以及HJM模型等。

（一）Ho-Lee模型

Ho-Lee（1986）模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构随时间的可变性，通过二叉树图的形式推导出了最早的期限结构的无套利模型。Ho-Lee模型的一般表达式服从以下方程：

其中，是一个时间的函数，表示了在t时刻的移动，是一个常数项，表示短期利率的标准差。Ho-Lee模型假定短期利率的瞬时标准差是常数，并通过将漂移项系数设置成关于时间的变量，从而使得模型能较好地拟合当前时刻的利率期限结构。在Ho-Lee模型中，利率服从正态分布，可能为负值，且没有均值回归的特性，并且假设利率的波动率不变，没有考虑利率的波动率结构。

（二）Hull-White模型

Hull-White（1990）把模型扩展成为具有均值回复的特点，提出了Vasicek模型和CIR模型的扩展，并提供了精确符合初始期限结构的模型，其单因子模型如下：

其中，k为常数，、为时间变量。Hull-White模型基本和Vasicek同一个逻辑，唯一的区别在于三个参数随着时间变化而变化。Hull White通过引入参数，使得在完全拟合期限结构之外，还具有均值回归特性，同时解决了时间衰减特性和均值回复特性两个问题，将短期利率过程从随机过程变成了确定性过程。参数能进一步完全拟合波动率期限结构，但无法保证利率的非负性。

（三）Health-Jarrow-Morton模型（HJM模型）

HJM（1992）提出了一种全新的描述利率曲线的方法论。与其他模型先模拟短期利率再导出远期利率的思路不同，HJM模型先模拟远期利率，对整条收益率曲线的随机变化进行建模，而不是只对短期利率建模然后归纳出整条收益率曲线。HJM模型不再用几个抽象的因子来驱动利率曲线，而是直接对曲线上全部瞬时远期利率进行描述，能方便地拟合期初收益率曲线，而且很容易推广到多因素。HJM模型的推导过程较复杂，T时刻瞬时远期利率的变化服从

整个模型估计的参数只有一个，即波动性，而且波动性不会随着测度的变化而变化。HJM模型是一个无套利分析框架，通过一个无风险资产和多个风险资产的组合构造资产市场上的所有资产，从期限结构的波动率入手得到债券定价的全部信息。其中远期利率的漂移项由模型决定，是波动项的确定性函数，不再是外生给定的。所以HJM模型中远期利率动态过程完全由远期利率的瞬时波动率结构决定。HJM模型认为收益曲线是由无数瞬时远期利率驱动，通过随机即期利率过程的多个随机因子来影响期限结构。

HJM模型的优点是跟其他无套利模型一样符合当前的利率期限结构；债券等产品价格由远期利率的波动率决定，不需要估计利率的漂移项，可以避开短期利率的回复水平、回复速度和波动率等难以估计的变量，直接对远期利率曲线进行随机微积分计算。缺点是当我们利用树形结构来表示期限结构移动时，短期利率的树图不重合，传统的求解方法失效，一般需要运用蒙特卡罗方法来模拟。

三、模型选择及其应用

综上所述，动态模型通过引入随机过程，将利率的变化用随机行为进行描述。均衡模型从经济学均衡角度出发，认为利率期限结构是由包括宏观经济变动、利率水平、利率波动和利率波动的速率等几个因素共同作用的结果。这类模型提供了利率期限结构动态行为的经济学解释，可以有效分析利率变化的经济动因。无套利模型的最初目的是为利率衍生品进行定价，将利率期限结构视为既定，根据市场的无套利机会条件求出利率所必须遵循的一个过程。虽然其参数稳定性不如均衡模型，但是更加贴近实际市场的情况。

模型的选择主要是利用历史数据通过统计等方法，确定最合适的模型。一个相对合适的利率期限结构模型应该满足易处理性和现实性，即模型的输入数据易于获得，方便进行数据拟合。利用一个模型得到的价格应当与市场价格较大比例上一致，对利率现实行为有较强的解释力。近年来，通过学者针对利率动态模型在中国市场的实证研究表明，Vasicek模型和CIR模型对SHIBOR利率的动态特征均能很好地刻画和描述，且Vasicek模型的拟合效果更优，能够很好地解释并预测中国银行间一日回购利率。由于Hull-White模型的优良和稳定性，其广泛应用在利率衍生产品定价领域，通过引入Hull-White模型对次级债券定价，为我国信用风险定价研究领域提供了有力的补充。相比之下，Ho-Lee模型的灵活性较低，在我国应用较少。HJM模型先模拟远期利率，进而拟合得到期初收益率曲线，同时又具有很强的拓展性，所以其更多应用在LIBOR类衍生产品的定价与对冲领域。

利率的建模可以帮助我们提供更科学的视角和更精密的理论依据，为更细微地感知市场提供有效的工具。但在实际中要确定一个完美的模型非常困难，不同时间范围内适用的模型可能会发生改变。当遇到外界发生较大变化，也会有较大偏差。无论10年期国债利率、LIBOR还是OIS等，回看历史走势的时候，一些大幅波动位置往往都是有明显的信号支撑，例如“四万亿计划”推动利率的走高，2020年初疫情导致10年期国债利率显著下调等。我们运用利率模型进行分析的同时，对利率水平判断还是需要结合当期实际经济情况决定，关注长期利率的波动，以及其它宏观指标带来的联动效应。

END

作者：田琦程，中国邮政储蓄银行

原文《浅析利率动态模型》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2022.05总第247期。

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