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BS模型陷阱——市场假设的波动率适用范围

作者： 中国货币市场 | 2021-08-24

内容提要

BS期权定价模型中，高波动率与价格服从对数正态分布假设具有天然的矛盾，基于BS市场模型假设延伸的所有市场模型、定价模型，均存在一定的波动率适用范围。BS模型并不适用于极端、高波动率市场环境。

布莱克-舒尔斯模型（Black-Scholes Model，简称BS模型）在衍生品市场应用广泛，是折算波动率曲面的基础模型。其提出者迈伦·舒尔斯、罗伯特·墨顿于1997年获得诺贝尔经济学奖。

BS模型的一个重要成就是提出了微分状态下（极小时间间隔）有效市场模型，并在此基础上给出了普通（Vanilla）期权的精准解析解。在此后很长一段时间，衍生品模型的演变都是围绕着该市场模型的一般化，以及复杂衍生品结构求解而展开。例如局部随机波动率模型就是将市场模型演进为局部随机波动率市场假设，同时将求解模型演进为蒙特卡洛模拟而组成的通用模型框架。

BS模型的基本假设是：价格的变动率服从正态分布，或者说价格服从对数正态分布。在实际应用中BS模型作为Vanilla期权的定价公式，也同时成为波动率曲面构建的约定模型。波动率曲面是期权交易市场的基础标的，所以BS模型构成了整个期权市场的基础。

但是BS模型的完全有效市场假设对一般市场具有局限性，除了不满足非常明显的“涨跌停”、“非对称”、“跳空”、“负价格”等特征，价格收益率呈正态分布的假设也存在适用的波动率范围。当价格波动较大时，市场并不关心收益率、利率而只专注于绝对价格，BS模型不再适用。但波动率适用上限的标准并不直观，这也导致了更容易被忽略的陷阱。

下面从解析解、数字期权定价、蒙特卡洛模拟三个维度，分析当波动率足够大时BS市场模型假设的局限性。

一、解析解分析

当波动率足够大时，Vanilla期权价格如何变化？根据定价公式：

其中，P：期权价格；：看涨等于1，看跌等于-1；：现货（即期）价格；：本币利率；：外币利率（被报价标的成本收益）；：标的隐含波动率；：交易日至到期日的剩余期限；：起息日至交割日的剩余期限。

当波动率趋向无穷大时，从公式可以推导出：

同理：

看涨期权正态分布累计函数的极值：

看涨期权价格的极值：

看跌期权正态分布累计函数的极值：

看跌期权价格的极值：

当波动率趋于正无穷大，看涨、看跌期权的期权价格分别收敛于：

图1 期权费极值

注：XAUUSD, F=1500,K=1700, rd=rf=0

模型来源：bcopt.com

当波动率高到一定程度，看跌期权价格收敛取决于协议价，与远期价格无关；看涨期权的收敛取决于远期价格，与协议价无关。

当波动率足够高时，持有看涨期权的期权费相当于持有同等面额远期多头的最大损失，或者说做市商在卖出看涨期权后，由于Delta接近1会选择持有等面额现货（未考虑利率）。同理，如果做市商波动率定价非常高，客户会选择持有等面额现货，而不是买入期权，所以买入等面额现货的最大损失是期权费的上限。

当波动率足够高时，看跌期权的期权费相当于标的价格归零的收益，或者说当做市商卖出看跌期权后，虽然Delta接近0不需要做任何对冲，但因为波动率定价足够高，所以期权费已经收取了可能的最大损失（客户的最大收益）。同理，当波动率高到一定程度，如此高的期权费也导致客户会选择不购买期权，因为客户买入期权是不可能盈利的。

下面通过数字期权（Vanilla期权价差结构）做进一步分析。

二、数字期权报价分析

波动过高对数字期权定价影响更加明显。由于看涨期权价格极值只和现货价格相关，但是看跌期权极值价格和协议价格成正比，所以通过Vanilla Spread模拟数字期权定价时，随着波动率上升看涨数字期权的极值期权费为0%，看跌数字期权的极值期权费为100%。从图中可以更清晰地分析BS模型的局限性。

图2 看涨数字期权报价

模型来源：bcopt.com

当波动率足够大时，价外看涨数字期权报价趋于0。例如一个黄金看涨合约，现货价格为1700，协议价格为1750，正常情况下波动率越大的期权费越贵，但是波动率大到一定程度价格反而掉头走低。无论波动率设置多高，该价外看涨数字期权的报价最高在40%，并没有直观中认为的接近50%。

BS模型这个时候已经表现一个致命陷阱：做市商使用看涨期权价差定价看涨数字期权时，当市场出现异动，如果选择将波动率价差拉大保护OTM看涨数字期权报价，结果是致命的。

由于数字期权的报价可以理解为“满足条件的概率”，可以就外汇市场分析如下：报价货币和被报价货币本身具有同等地位，但从以上分析可以看出，当波动率足够大时，价外看涨数字期权变得非常便宜，报价结果显示报价货币价值趋于无穷大，被报价货币价值趋于归零。认为被报价货币在极端情况下归零显然与市场不相符，外汇市场一般将弱势“小货币”放在了报价货币的位置上，例如阿根廷比索报价为USDARS，当市场波动加大时价格一般会上升。价外数字期权价格与波动率“非同向”关系，也与市场不相符。

三、蒙特卡洛模拟路径

日常交易中交易者会有一个直接感受，如果资产价格跌掉50%就很难再“回本”，因为下跌50%再上涨50%，价格整体仍然下跌25%。这种市场满足BS模型的基本特征，如果基于这种特征将波动率不断加大到一定程度，通过蒙特卡洛模拟可以看到最终资产价格大部分会永久归零，少数变得非常大。如果再将期限拉长，绝大部分模拟价格会归零。波动率高企的市场情景一般具备特殊性，这种大概率价格归零的结论与很多实际情况并不相符。

蒙特卡洛模拟的路径直观证实了价格“归零”的结论，价格的对数正态分布使0产生“吸附”作用，当价格接近0时就很难再上涨。

图3 XAUUSD在极端高波动率下的价格模拟路径

注：S0=1900, vol=95%

模型来源：bcopt.com

从这个结论分析，基于BS市场模型，当波动率足够大时未来价格只可能大量落在0或极少数落在无穷大的地方。

四、总结及交易中的应用

当波动率足够高时，标的价格倾向于满足对数正态分布还是正态分布？真实市场环境中，伴随波动加大交易者会更关注价格本身，而不是收益率、变动率，例如一只美股，当价格一天内从10元涨到100元，第二天跌回50元，第三天又涨到150元。大家的感受是第一天和第三天波动相等，而并非第一天变动率是第三天的10倍！

由于期权合约的期限、结构、协议价格等要素不同，在实际交易中很难直观给出一个标准，衡量波动率高于多少时BS模型不再可信，这也是这个陷阱的危险之处。

当波动率高到一定程度时，价差期权、数字期权定价偏离尤为明显。价外看涨数字期权的价格并不永远随波动率的提升而提升，在极端情况下通过盲目拉高波动率价差，企图达到“停止报价”的效果，会面临模型风险。

例如在英国脱欧当天，做市商面对客户价外数字期权的询价，如果试图通过拉高波动率价差达到停止报价的目的，结果会怎样呢？答案是灾难性的，价外看涨期权报价接近0%！

以上分析同时回答了平价（ATM）期权两种定义的区别：（1）协议价格等于远期价格；（2）Delta等于50%。

不考虑外币利率贴现，由于看涨期权的极值与现货价格完全相等，所以Delta接近1；看跌期权价值与现货无关，所以Delta接近0。如果平价（ATM）的定义采用“K=F”，伴随波动率加大Delta会发生偏离，看涨期权Delta会明显高于50%，看跌期权会明显低于50%。当波动率高到一定程度，为保值Delta中性交易者会做空更多现货或远期。

图4 平价期权Delta的变化